2.7. Эллиптические уравнения
Многие физические задачи, например, описание стационарных и
квазистационарных электромагнитных полей, стационарных процессов
теплопроводности и диффузии, течения несжимаемой, невязкой жидкости
и т. д., приводят к решению уравнений Лапласа и Пуассона.
2.7.1. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле
В п. 2.6.1 было установлено, что уравнение распространения тепла в
изотропном однородном пространственном теле в случае отсутствия
источников тепла имеет вид
222
2
2 2 2
.
u u u u
a
t
x y z



(2.126)
Допустим теперь, что температура в каждой точке
,,x y z
внутри тела
установилась, т. е. она не меняется с течением времени. Тогда
0
u
t
и
уравнение (2.126) принимает следующий вид:
222
2 2 2
0.
uuu
x y z

(2.127)
7Б+C1 (Определение). Уравнением Лапласа (в пространстве)
называется уравнение
0,u
где
u
– лапласиан, выражение которого в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах имеет соответственно вид
222
2 2 2
,
uuu
u
x y z

22
2 2 2
11
,
u u u
ur
r r r
rz




Таким образом, уравнению Лапласа (2.127) удовлетворяет
установившаяся в однородном теле температура
, , .u x y z
7А+С2 (Замечание). Уравнению Лапласа удовлетворяет (А+С) также
потенциал стационарного электрического поля в области, где отсутствуют
заряды, и потенциал поля тяготения в области, где отсутствуют массы. К
уравнению Лапласа приводят и другие задачи, однако при изучении этого
уравнения представление функции
,,u x y z
как температуры наглядно и
удобно.
7А3 (Определение). Функция
,,u x y z
называется гармонической в
конечной области
,D
если она в этой области имеет непрерывные
производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа во
всех точках
.D
7Б4 (Определение). Функция
,,u x y z
называется гармонической в
бесконечной области
,D
если она в этой области имеет непрерывные
производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа во
всех точках
D
и стремится к нулю при стремлении точки
,,M x y z
в
бесконечность (функция
0uM
при
,M 
если для любого
заданного положительного числа
можно указать такое положительное
число
,A
что
uM 
при
,rA
где
r
– расстояние точки
M
от начала
координат).
7А+Б5 (Основные свойства гармонических функций).
1. Функция
, , ,u x y z
гармоническая в области
,D
имеет производные
всех порядков внутри этой области.
2. Значение гармонической функции в центре шара равно среднему
арифметическому ее значений на поверхности этого шара.
3. Функция, гармоническая внутри ограниченной области
D
и
непрерывная в замкнутой области
,D
достигает своего наибольшего и
наименьшего значений только на границе области, кроме того случая,
когда эта функция есть постоянная.
Уравнение Лапласа имеет бесконечное множество решений. Какое-то
конкретное решение определяется заданием некоторых дополнительных
условий. Например, для уравнения Лапласа можно рассмотреть
следующую задачу.
7А6 (Краевая задача для уравнения Лапласа). Найти функцию
, , ,u u x y z
гармоническую внутри области, ограниченной замкнутой
поверхностью
,
и удовлетворяющую граничному условию
,
u
H u u
n

где
H
и
u
– функции, заданные на границе
.
В случае задачи о
стационарном распределении температуры
k
H
h

,
u
– температура
окружающей среды на границе тела;
h
– коэффициент теплообмена,
зависящий от физических свойств тела и окружающей среды;
k
–
коэффициент теплопроводности.
Важный частный случай краевой задачи получается при
0H
,
соответствующий случаю
,h 
т. е. заданию температуры тела на
границе
:
.uu
Эта краевая задача называется задачей Дирихле.
7А7 (Задача Дирихле в пространстве). Найти функцию
,,u x y z
,
удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности
уравнению Лапласа
0u
и принимающую на границе
заданные значения:
.uu
То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при некоторых весьма
общих предположениях относительно
и
),u
можно считать очевидным,
исходя из физических соображений. Действительно, если каждая точка
границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре
(которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке
тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение
задачи Дирихле при данных граничных значениях. По тем же
соображениям это решение будет единственным.
Задача Дирихле может интерпретироваться и в терминах диффузии: ее
решением будет стационарная концентрация при условии, что
концентрация на границе известна.
Если функция
u
зависит только от двух пространственных координат,
например
x
и
y
(или только от
r
и
в полярной системе координат), то
уравнение Лапласа принимает более простой вид
22
22
0
uu
xy



или
2
22
11
0.
uu
r
r r r
r






7А8 (Задача Дирихле на плоскости). Найти функцию
,,u u x y
удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области, ограниченной
замкнутой кривой
,
и принимающую на границе
заданные значения
,,u u x y
т. е.
.uu
Эта задача также имеет единственное решение. Она может иметь
место в физических задачах двух типов. Первый тип возникает при
рассмотрении стационарного распределения тепла в тонкой однородной
пластинке, параллельной плоскости
Oxy
, с теплоизолированными
нижней и верхней поверхностями. Край пластинки
поддерживается при
определенной температуре
.u
Пластинка предполагается настолько
тонкой, что можно пренебречь изменением температуры по толщине
(температура в этом случае будет функцией только
x
и
).y
Второй тип задачи относится к стационарному распределению
температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого
образующие параллельны оси
,Oz
направляющая
лежит в плоскости
,Oxy
а боковая поверхность цилиндра поддерживается при определенной
температуре
.u
Температура
u
остается постоянной на любой прямой,
проходящей внутри цилиндра параллельно оси
,Oz
поэтому
,.u u x y
7А9 (Задача Дирихле в одномерном случае). Задача Дирихле решается
очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе
координат неизвестная функция
u u x
зависит только от одной из
координат. В случае декартовых координат уравнение Лапласа принимает
вид
2
2
0
du
dx
и его решениями являются линейные функции
u Ax B
(стационарное распределение температуры в тонком стержне с
теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно). Задача
Дирихле имеет в этом случае решение
0
0
,
l
uu
u x u
l

где
0
0
,
x
uu
.
l
xl
uu
В случае задач с осевой симметрией запишем уравнение Лапласа в
цилиндрических координатах, считая, что
u
не зависит от
и
:z
1
0
d du
r
r dr dr



.
Отсюда
du
rA
dr
и
ln ,u A r B
где
A
и
B
– произвольные постоянные.
Задача Дирихле
,
a
ra
uu
b
rb
uu
имеет решение
1
ln ln ln
ln ln
a b b a
u u u r u a u b
ab


ln
ln
a b a
r
a
u u u
b
a
.
Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении
тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии,
что на поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура
(можно также сказать, что
u
– потенциал электростатического поля в
цилиндрическом конденсаторе, на обкладках которого потенциалы
соответственно равны
a
u
и
).
b
u
Полученное решение теряет смысл при
0.r
Трехмерные и двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены
только для сравнительно простых областей.